ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ (6 класс)

Районно-городской этап

1999/ 2000 учебный год

1)    На гранях кубика произвольным образом написаны натуральные числа от 1 до 6. Докажите, что: а) у этого кубика есть две соседние грани, на которых написаны соседние числа; б) таких пар соседних граней у кубика не меньше двух.

2)    Сколько существует различных двузначных чисел, все цифры которых – нечетные? А сколько таких трехзначных чисел?

3)    Вдоль забора растут 2000 кустов крыжовника. Количество ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах быть 20001999 штук ягод?

4)    Какая из дробей больше:  

5)    Точки прямой раскрашены в два цвета. Доказать, что найдутся три такие точки А, В, С, окрашенные в один цвет, что АВ=ВС.

2001/ 2002 учебный год

1)    Решите ребус: (МА)*(ФА)=2001.

2)    В поход пошли 56 учеников 31 лицея и в целое число раз меньше учеников 11 лицея. Они разместились в нескольких палатках, в каждой столько человек, сколько палаток. Сколько лицеистов 11 лицея участвовало в походе?

3)    На 20 карточках написаны числа от 1 до 20. Из этих карточек составили 10 дробей. Какое наибольшее число из этих дробей может иметь целое значение?

4)    Играют двое. Один называет любое целое число от 1 до 9 включительно. Второй прибавляет к названному любое целое число от 1 до 9 и называет сумму. К этой сумме первый снова прибавляет любое целое число от 1 до 9 и называет новую сумму и т.д. Выигрывает тот, кто назовет число 2000. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

5)    Можно ли расположить на плоскости несколько треугольников так, чтобы две вершины каждого из них лежали на сторонах (но не в вершинах) других треугольников?

2002/ 2003 учебный год

1)    Пасека состоит из 16 ульев, расставленных по четыре в четыре ряда. Расстояние между ульями по соседству 5 метров. Может ли пчеловод обойти все ульи так, чтобы маршрут состоял из шести отрезков? Какова длина самого короткого маршрута?

2)    Двое играют в следующую игру: они по очереди закрашивают клетки на клетчатом поле 4х4. За ход следует закрасить одну клетку так, чтобы не образовывалось квадрата 2х2. Проигрывает тот, кому не удается сделать такой ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?

3)    Существует ли такое целое число, что произведение его цифр равно 2002?

4)    По окружности выписаны числа 1, 2, 3. Затем между каждыми двумя соседними числами вставили их сумму (в результате получилось шесть чисел: 1, 3, 2, 5, 3, 4). Потом повторили эту операцию ещё пять раз. Теперь вдоль окружности стоят 192 числа. Найдите их сумму.

5)    Имеется линейка 13 см без делений. Какое наименьшее число промежуточных делений нужно нанести на линейку, чтобы можно было отметить отрезки длины 1, 2, 3, 4. 5, …, 13 см, прикладывая линейку лишь один раз (в каждом случае)?

2003/ 2004 учебный год

1)    Числа от 1 до 13 выписаны в ряд. Под ними также выписаны все числа от 1 до 13 таким образом, что суммы всех пар (число верхнего ряда и стоящее под ним число нижнего ряда) являются квадратами. Как это сделано?

2)    На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделен глобус?

3)    На столе лежат 9 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 9. Двое по очереди откладывают в сторону по одной карточке. Проигрывает тот, после хода которого сумма чисел на отложенных карточках становится больше 25. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?

4)    Имеются 4 гири с маркировками 1г, 2г, 3г, 4г. Одна из этих гирь дефектная: более легкая или более тяжелая, чем указано на ее маркировке. Можно ли за два взвешивания узнать, какая из гирь дефектная и при этом определить, легче она или тяжелее, чем указано на ее маркировке?

5)    Расположите на плоскости 11 квадратов таким образом, чтобы при любой окраске их в три цвета нашлись два квадрата, граничащих друг с другом на некоторой части стороны одного цвета.

2006/ 2007 учебный год

1)    Запишите подряд 25 пятерок. Поставьте между некоторыми цифрами знаки арифметических действий так, чтобы в результате получилось число 2006. Скобки не используются.

2)    При сложении двух целых чисел Петя поставил по ошибке во втором слагаемом лишний нуль на конце и получил в сумме вместо правильного ответа 2411 число 6641. Найдите слагаемые.

3)    Разрежьте квадрат на 4 одинаковых пятиугольника.

4)    По кругу лежат 5 монет гербом вниз. Разрешается переворачивать одновременно три монеты, лежащие подряд. Как таким способом положить все монеты гербом вверх?

5)    Сможет ли Аня посадить 8 цветков в 7 рядов по 3 цветка в каждом ряду?

2007/ 2008 учебный год

1)    Расставьте скобки и знаки арифметических действий так, чтобы получилось верное равенство:  

2)    Из доски 8х8 по клеточкам вырезали 12 прямоугольников 1х2. Всегда ли из оставшейся части доски можно «по клеточкам» вырезать прямоугольник 1х3?

3)    Найдите все трёхзначные числа , для которых выполняется равенство

4)    Три автомобиля одновременно, из одной точки и в одном направлении, выехали по кольцевой трассе. Каждый движется с постоянной скоростью. Первый автомобиль ехал быстрее остальных и ровно через два круга догнал второй, а проехав ровно три круга, оказался в одной точке с третьим. Сколько кругов проедет второй автомобиль к моменту, когда он впервые после старта окажется в одной точке с третьим?

5)    Можно ли покрасить клетчатый квадрат 2007х2007 в два цвета: черный и белый таким образом, чтобы каждая черная клетка имела двух белых соседей, а каждая белая клетка – двух черных соседей (соседними считаются клетки с общей стороной)?

2009/ 2010 учебный год

1)    Для нумерации страниц учебника потребовалось 2007 цифр. Сколько страниц в этом учебнике?

2)    Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы соли в ней было 2%.

3)    Найти два таких числа, что их сумма втрое больше из разности и вдвое меньше их произведения.

4)    Имеется 9 телефонов и каждый из них должен быть соединён только с тремя другими. Можно ли это сделать?