Всероссийская олимпиада школьников по математике
6 класс, Школьный уровень

2010 - 2011 учебный год
1) В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором — синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем — лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвёртом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась?
2) В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми?
3) Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском 
алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут? Ответ обоснуйте.
4) В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме "р", которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме "к", которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово "кот", 18 других учеников — слово "рот", а остальных — слово "крот". При этом слова "кот" и "рот" оказались написанными по 15 раз. Сколько ребят написали своё слово верно? Ответ обоснуйте. 
5) На клетчатой бумаге нарисован квадрат со стороной 5 клеток. Его требуется разбить на 5 частей одинаковой площади, проводя отрезки внутри квадрата только по линиям сетки. Может ли оказаться так, что суммарная длина проведенных отрезков не превосходит 16 клеток?

6 класс, Школьный уровень

1) Терпеливая Маша обшивает квадратную салфетку тесьмой по краю за 1 час. Сколько часов ей понадобится, чтобы обшить квадратную салфетку, площадь которой в 4 раза больше?
2) Чему равно 45% от 1/45 от 240?
3) Четыре белки съели 1999 орехов, каждая не меньше, чем 100. Первая белка съела больше всех. Вторая и третья вместе съели 1265 орехов. Сколько орехов съела первая белка?
4) Старые часы отстают на 20 секунд в час. Сколько времени они покажут через сутки после того, как стрелки установили на 12 часов?
5) Старый гном разложил свои сокровища в 3 разноцветных сундука, стоящих у стены. В один – драгоценные камни, в другой – золотые монеты, а в третий – магические книги. Он помнит, что красный сундук правее, чем драгоценные камни. А магические книги правее, чем красный сундук. В каком сундуке лежат магические книги, если зелёный сундук стоит левее, чем синий?

Задача 1: Найти x, если   

Задача 2: Найти восемь последовательных целых чисел так, чтобы сумма первых трех равнялась сумме пяти последних.

Задача 3: Даны девять прямых, из которых никакие три не проходят через одну точку и любые две пересекаются. Сколько углов, меньших 180 градусов образуется в результате взаимного пересечения этих прямых?

Задача 4: Стекольщик взялся нарезать стекла на 120 рам. За каждое стекло, нарезанное правильно, ему платили 375 рублей, а за каждое испорченное стекло с него удерживали 825 рублей. По окончании работы стекольщик получил 33 тысячи рублей. На сколько рам он нарезал стекла правильно?

Задача 5: Существует ли замкнутая кривая, пересекающая окружность ровно 1993 раза?